关于房产分割问题我和老伴有一套房改房…

关于房产分割问题我和老伴有一套房改房,已取得全产权和上市证,当时产权登记为老伴的名字,老伴过世后,我一直未再婚。现因我有再婚想法,为避免起纠纷,子女要求将该房屋进行分割,请问:1、我还在世,子女要求分割房屋合法吗?手续如何办理。2、如我不同意分割,该如何保障子女在我再婚后的合法财产?